Параметрични би кубични повърхнини

Общо управление на параметричните куб. Криви:
Q(t)=TMG, G – геометричен вектор константа; Отместване t=S: Q(S) = S.M.G
Ако точките на G не са константа, а се променят по някаква крива зависеща от параметъра t ще получим точка:

Ако за t=t1; Q(S,t1) e крива, защото G(t1) e константа
t=t2; Q(S,t2) e друга крива близка до първата, при t2-t1 – много малка стойност:
:
:
tI = 0 до 1 => семейство криви => повърхнина
Когато Gi(t) са кубически криви, повърхнината е би кубическа (зависи от S и t)
Всички GI(t)=ТМGI; GI=[gi1; gi2; gi3; gi4]T
{gi1 е първият елемент на геометричният вектор за кривата GI(t)}
Транспонираме GI(t)
[(A.B.C)T=CTBTAT] тогава
GI(t) = GIT.MT.TT [gi1; gi2; gi3; gi4].MT.TT
Заместваме в Q(S,t)

Q(S,t)=S.M.G.MT.TT за S принадлежащо [0,1] и t принадлежащо [0,1]
Повърхнини на Безие

Кръпката се задава с 16 точки, а не с 4
x(S,t) = S.Mb.Gbx.MbT.TT
y(S,t) = S.Mb.Gby.MbT.TT
z(S,t) = S.Mb.Gbz.MbT.TT
Геометричната матрица G се определя от 16 точки.
Gbx е матрица от х координатите им
Gby е матрица от y координатите им
Gbz е матрица от z координатите им
Повърхнини с В-сплайни
x(S,t)=S.Mb.Gsx.MsT.TT
за всички се прибавя по още една точка. Матрицата Gsx се увеличава по размерност
Нормала към повърхнина
За да видим как е осветена повърхнината ни трябва нормала към повърхнината.
Допирателен вектор към параметър S:

Определя се от [Xs, Ys, Zs]
Определя се от [Xt, Yt, Zt]
Двата са успоредни на повърхнината в точка (S, t) => нормалата е